Історія

Історія

Необхідність розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не дивлячись на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Франсуа Вієт
Народився	1540 Фантене-ле-Конт
Помер	14 лютого 1604 Париж
Національність	француз
Відомий	теорема Вієта
Діяльність	математик

Франсуа Вієт ( французький математик, який започаткував алгебру як науку про перетворення виразів, про розв’язування рівнянь у загальному вигляді.

Вієт став позначати буквами не тільки невідомі, але й дані величини. Тим самим йому вдалося ввести в науку можливість виконання алгебраїчних перетворень над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він вніс важливий вклад в створення буквенної алгебри, чим закінчив розвиток математики епохи Відродження і підготував ґрунт для появи результатів Ферма, Декарта, Н’ютона.

Франсуа Вієт народився в 1540 році на півдні Франції у невеликому містечку Фантене-ле-Конт провінції Пуату-Шарант, що знаходиться у 60 км від Ла-Рошелі, що була на той час оплотом французьких протестантів-гугенотів. (Гугеноти - наслідувачі кальвінізму, однієї з основних течій Реформації Церкви.) Більшу частину життя він прожив поряд із основними керівниками цього руху, хоча сам залишався католиком. Мабуть, релігіозні незгоди вченого не турбували.

Батько вченого був прокурором. За традицією, син вибрав професію батька і став юристом, закінчивши університет у Пуату. У 1560 році двадцятирічний адвокат почав свою кар’єру у рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом та повагою. Але через три роки перейшов на службу у відому гугенотську сім’ю де Партене. Він став секретарем власника будинку і вчителем його дочки, дванадцятирічної Катерини. Саме навчання пробудило в молодого юриста інтерес до математики.

Коли учениця виросла та вийшла заміж, Вієт не розлучився з її родиною і переїхав з нею до Парижу, де йому було легше дізнатися про досягнення провідних математиків Європи. З деякими вченими Вієт познайомився особисто. Він спілкувався з відомим профессором Сорбонни Рамусом, з найбільшим математиком Італії Рафаелем Бомпеллі вів дружнє листування.

У 1571 році Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламента у Бретані. Знайомство з Генріхом Наварським, майбутнім королем Франції Генріхом IV, допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду – таємного радника – спочатку при королі Генріху ІІІ, а потім і при Генріху IV.

Він прославився тим під час франко–іспанської війни. Іспанські інквізитори вигадали дуже важкий шифр, який складався приблизно з 600 знаків і весь час змінювався і доповнювався. Завдяки цьому шифру войовнича та сильна на той час Іспанія могла вільно листуватися з супротивниками французкого короля навіть у самій Франції, і це листування залишалося нерозгаданим. Після марних спроб знайти ключ до шифру король звернувся до Вієта. Розповідають, що Вієт, протягом двох тижнів поряду дні і ночі провів за роботою, все ж таки знайшовши ключ до шифра. Після цього несподівано для іспанців Франція стала вигравати один бій за іншим. Пізніше іспанцям стало відомо, що шифр для французів уже не таємниця і що винуватець його розшифровки – Вієт. Будучи впевненими, в неможливості розгадати спосіб тайнопису людьми, вони звинуватили Францію перед папою римським та інквізицією в проказах диявола, а Вієт був звинувачений у союзі з дияволом та присуджений до спалення на полум’ї. На щастя для науки він не був виданий інквізиції.

Знаходячись на державній службі, Вієт залишався вченим. До цього часу належать свідоцтва сучасників Вієта про його величезну працездатність. Будучи чимось захопленим, вчений міг працювати по три доби без сну.

У 1584 році через настоювання Гізів Вієта звільнили з посади та послали до Парижу. Саме на цей період прийшлася вершина його діяльності. Отримавши несподіваний спокій та відпочинок, вчений поставив собі ціль скласти всеосяжну математику, яка дозволить розв’язувати будь-які задачі. У нього склалося переконання у тому, «що має існувати загальна, невідома ще наука, яка охоплює і розумні роздуми найновіших алгебраїстів, і глибокі геометричні розвідки древніх».

Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори классиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомпеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, яка полягала у важкості розуміння через словесну символику. Майже всі дії і знаки записувалися словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємось. Неможна було записувати і, отже, вивчати в загальному вигляді алгебраїчні рівняння або якісь алгебраїчні вирази. Кожний вид рівняння з числовими коефіцієнтами розв’язувався за особливим правилом. Так, наприклад у Кардано розглядалося 66 видів алгебраїчних рівнянь. Тому необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від самих чисел не залежать. Вієт та його наслідувачі встановили, що не має значення, чи буде розглядаєме число кількістю предметів або довжиною відрізка. Головне, що над цими числами можна виконувати алгебраїчні дії і в результаті знову отримати числа такого самого роду. Отже, їх можна позначати якимись абстрактними знаками. Вієт це й зробив. Він не лише ввів своє буквенне обчислення, але й зробив принципово нове відкриття, поставивши перед собою ціль, вивчати не лише числа, а й дії над ними. Правда, в самого Вієта алгебраїчні символи були ще мало схожі на наші. Зі знаків дій він використовував “+” і “-”, знак радикалу і горизонтальну риску для ділення. Добуток позначав словом “in”. Вієт першим став використовувати дужки, які, правда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над мноогочленом. Але багато знаків, які були введені до нього, він не використовував. Так, квадрат, куб і т. д. Позначав словами або першими буквами слів. Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад стародавних, він чітко розмежував числа, величини та відношення, зібравши їх у деяку систему “видів”. У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби і т.д. Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначивши їх прописними буквами латинського алфавіту. Для невідомих величин застосовувалися голосні букви, для змінних – приголосні. Вієт показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який пристосований до будь–яких величин, тобто розв’язати задачу в загальному вигляді. Це поклало початок корінній зміні у розвитку алгебри: стало можливим буквенне обчислення. Не випадково, що за це Вієта називають «батьком» алгебри, основоположником буквенної символики.

Особливо пишався Вієт усім відомою тепер теоремою про вираження коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти, яку він отримав самостійно, хоча тепер стало відомо, залежність між коефіцієнтами і коренями рівняння (навіть більш загального вигляду, ніж квадратне) була відома ще Кардано, а в такому вигляді, в якому ми використовуємо її для квадратного рівняння, - давнім вавилонянинам. Теорема була оголошена у 1591 році. Тепер вона носить ім’я Вієта, а сам автор формулював її так: “Якщо B+D, помножене на А, мінус А в квадраті дорівнює BD, то А дорівнює В і дорівнює D”. Теорема Вієта стала зараз найвідомішим твердженням шкільної алгебри. Теорема Вієта варта уваги, тим паче що її можна узагальнити для многочленів будь–якого степіня.

Великих успіхів досяг вчений і в геометрії. Стосовно до неї він зміг розробити цікаві методи. У трактаті «Доповнення до геометрії» він намагався створити за прикладом давніх якусь геометричну алребру, використовуючи геометричні методи для розв’язування рівнянь треього та четвертого степеня. Будь– яке рівняння третього або четвертого степеня, стверджував Вієт, можна розв’язати геометричним методом трисекції кута або побудовою двох середніх пропорційних.

Математиків протягом столітть цікавило питання розв’язування трикутників, так як він диктувався потребами астрономії, архітектури, геодезії. У Вієта методи, які використовувалися раніше придбали більш завершеного вигляду. Так він першим явно сформулював у словесній формі теорему косинусів, хоча положення, еквівалентні їй, епізодично використовувалисьз першого століття нашої ери. Відомий ранішесвоїю важкістю випадок розв’язування трикутника по двум даним сторонам і одному з протилежних їм кутів отримав у Вієта вичерпний розгляд. Було ясно сказано, що рішення не завжди можливе. Якщо ж рішення є, то може бути одне або два.

Глибоке знання алгебри давло Вієту великі переваги. При цьому інтерес до алгебри спочатку був викликаний додатками до тригонометрії та астрономії. Не лише кожне нове використання алгебри давало імпульс новиим дослідам по тригонометрії, але й отримані тригонометричні результати стали джерелом важливих успіхів алгебри. Вієту належить висновок виразув для синусів (або хорд) и косинусів кратних дуг.

У 1589 році, після вбивства Генріха Гіза за наказом короля, Вієт повернувся до Парижу. Але у тому ж році Генріх III був вбитий монахом – прихильником Гізів. Формально французька корона перейшла до Генріха Наваррського – голови гугенотів. Але лише після того, як у 1593 році цей керівник прийняв католицьку віру, в Парижі його визнали королем Генріхом IV. Так був покладений кінець релігіозній війні, яка довгий час впливала на життя кожного франццуза, навіть зовсім не цікавившегося ні політикою, ні релігією.

Подробиці життя Вієта у той час невідомі. Відомо лише, що він перейшов на службу до Генріха IV, знаходився при дворі, був відповідальним урядовцем і користувався великою повагою як математик. За легендою, посол Нідерландів сказав на прийомі у короля Франції Генріха IV, що їхній математик Адріан ван–Роумен задав математикам миру задачу. Але у Франції, мабуть, немає математиків, так як серед тих, кому особисто адресувався виклик, немає жодного француза. Генріх IV відповів, що у Франції є математик, і запросив Вієта. Він у приймальні короля, у присутності короля, міністрів та гостей, знайшов один корінь запропонованого рівняння 45-го степіня. Король був дуже задоволений. На наступний день Вієт знайшов ще 22 корені рівняння. Цим він і обмежився. Так як останні 22 корені – від’ємні, а Вієт не визнавав ні від’ємних, ні мнимих коренів.

В останні роки життя Вієт пішов з державної служби, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, наприклад, що він вступив у полеміку з приводу введення нового григоріанського календаря. І навіть хотів створити свій календар. У мемуарах деяких придрорних Франції є вказівки, що Вієт був одружений, що в нього була дочка, єдина спадкоємниця імення, за яким Вієт звався синьйор де ла Біготьє. У придворних новинах маркіз Летуаль писав: “...14 лютого 1603 р. Господин Вієт, рекетмейстр, людина великого розуму і розмірковування і один з найбільш вчених математиків століття помер... в Парижі, маючи, за загальною думкою, 20 екю. Йому було більше шістидесяти років”.

Праці Вієта

У 1591 році — «Isagoge in artem analiticam» («Введення в аналітичне мистецтво»)

Другий твір Вієта «Recensio canonica effectionum geometricarum» («Доповнення до геометрії») став основою для тієї галузі математики, яку зараз називають аналітичною геометрією.

Більш чи менш повна збірка праць Вієта було видано у 1646 році в Лейдені нідерландським математиком ван Скоотеном під назвою «Математичні твори Вієта».