Способи розвязання

Способи рішення квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, у якому спочиває величний будинок алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування під час вирішеннятригонометрических, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. І ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі школи (8 клас), до закінчення вузу.

 У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратних рівнянь, з допомогою яких можна вирішити будь-які квадратні рівняння. Проте є й інші способи рішення квадратних рівнянь, що дозволяють дуже й раціонально вирішувати багато рівняння. Є десять способів вирішення квадратних рівнянь. Докладно у роботі я розібрала кожен із новачків.

1. СПОСІБ: Розпад лівої частини рівняння на множники.

Вирішимо рівняння

x2 +10х - 24 = 0.

Розкладемо ліву частина на множники:

x2 +10х - 24 = x2 +12х -2х - 24 =х(х + 12) -2(х + 12) = (x +12)(х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(x +12)(х - 2) = 0

Оскільки твір одно нулю, то крайнього заходу, з його множників нульовий. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при x = 2, і навіть при x = - 12. Це означає, що кількість 2 і - 12 є корінням рівняння x2 +10х - 24 = 0.

2. СПОСІБ: Метод виділення повного квадрата.

Вирішимо рівняння x2 +6х - 7 = 0.

Виділимо у частині повний квадрат.

І тому запишемо вираз x2 +6х наступного вигляді:

x2 +6х = x2 + 2• x • 3.

У отриманому вираженні перше складова - квадрат числа x, а друге - подвоєну твір x на 3. У цій щоб здобути цілковитий квадрат, треба додати 32, оскільки

x2 + 2• x • 3 + 32 = (x + 3)2.

>Преобразуем тепер ліву частина рівняння

x2 +6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 32. Маємо:

x2 +6х - 7 = x2 + 2• x • 3 + 32 - 32 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Отже, дане рівняння можна записати так:

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Отже, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, чи x + 3 = -4, x2 = -7.

3. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за такою формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ох2 + bx + з = 0, а 0

на 4а і послідовно маємо:

4а2x2 + 4аbx +4ас = 0,

((>2ах)2 +2ах • b + b2) - b2 + 4>ac = 0,

(>2ax + b)2 = b2 -4ac,

>2ax + b = ± b2 -4ac,

>2ax = - b ± b2 -4ac,

Приклади.

а) Вирішимо рівняння:4х2 +7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, з = 3, D = b2 - 4>ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, дві різні кореня;

Отже, у разі позитивноїдискриминанта, тобто. при

b2 - 4>ac >0 , рівняння ох2 + bx + з = 0 має дві різних кореня.

б) Вирішимо рівняння: >4х2 -4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, з = 1, D = b2 - 4>ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

 D = 0, один корінь;

Отже, якщодискриминант нульовий, тобто. b2 - 4>ac = 0, то рівняння

ох2 + bx + з = 0 має єдиний корінь,

в) Вирішимо рівняння: >2х2 +3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, з = 4, D = b2 - 4>ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Дане рівняння коренів немає.

Отже, якщодискриминант негативний, тобто. b2 - 4>ac < 0,

рівняння ох2 + bx + з = 0 немає коренів.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ох2 + bx + з = 0 дозволяє знайти коріння будь-якогоквадратного рівняння (якщо що є), зокрема наведеного і неповного.Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнта, взятому з протилежним знаком, плюс-мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта безучетверенного твори першого коефіцієнта вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з допомогою теоремиВиета.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

x2 + >px + з = 0. (1)

Його коріння задовольняють теореміВиета, яка за а =1 має вигляд

x1 x2 = >q,

 x1 + x2 = - >p

Звідси можна зробити такі висновки (по коефіцієнтамp іq можна передбачити знаки коренів).

 а) Якщо зведений член >q наведеного рівняння (1) позитивний (>q > 0), то рівняння має дві однакових за сигналом кореня і це заздрості від другого коефіцієнта >p. Якщо р < 0, то обидва кореня негативні, якщо р < 0, то обидва кореня позитивні.

Наприклад,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 і x2 = 1, оскільки >q = 2 > 0 і >p = -

3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 і x2 = - 1, оскільки >q = 7 > 0 і >p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член >q наведеного рівняння (1) негативний (>q < 0), то рівняння має дві різних за знаку кореня, причому більшої модулю корінь буде позитивний, якщо >p < 0 , чи негативний, якщо >p> 0 .

Наприклад,

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 і x2 = 1, оскільки >q= - 5 < 0 і >p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 і x2 = - 1, оскільки >q = - 9 < 0 і >p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ох2 + bx + з = 0, де а 0.

>Умножая обидві його частину на а, отримуємо рівняння

а2x2 + аbx + ас = 0.

Нехай ох = у, звідки x =у/а; тоді дійшли рівнянню

у2 + >by + ас = 0,

рівносильне даному. Його коріння у1 і у2 знайдемо з допомогою теоремиВиета.

Остаточно отримуємо

x1 = у1/а і x1 = у2/а.

У цьому способі коефіцієнт а збільшується вільний член, хіба що «перекидається» щодо нього, тому її називають способом «перекидання». Такий спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теоремуВиета І що найважливіше, колидискриминант є точний квадрат.

Приклад.

Вирішимо рівняння >2х2 –11х + 15 = 0.

Рішення. «>Перебросим» коефіцієнт 2 до вільної члену, внаслідок одержимо рівняння

у2 –11у + 30 = 0.

Відповідно до теореміВиета

у1 = 5 x1 = 5/2       x1 = 2,5

 у2 = 6    x2 = 6/2         x2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ох2 + bx + з = 0, де а 0.

1) Якщо, а+ b + з = 0 (тобто. сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то x1 = 1,

x2 =с/а.

Доказ.Разделим обидві частини рівняння на а 0, одержимо наведене квадратне рівняння

x2 + b/a • x + з/a = 0.

 Відповідно до теореміВиета

x1 + x2 = - b/a,

 x1x2 = 1• з/a.

 За умовою а – b + з = 0, звідки b = а + з. Отже,

x1 + x2 = - а +b/a= -1 –c/a,

 x1x2 = - 1• ( -c/a),

тобто. x1 = -1 і x2 = з/a, що м вимагалося довести.

Приклади.

1) Вирішимо рівняння >345х2 –137х – 208 = 0.

Рішення. Оскільки а + b + з = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

x1 = 1, x2 = з/a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

>2)Решим рівняння >132х2 –247х + 115 = 0.

Рішення. Оскільки а + b + з = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

x1 = 1, x2 = з/a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2>k – парне число, то формулу коренів

Приклад.

Вирішимо рівняння >3х2 —14х + 16 = 0.

Рішення. Маємо: а = 3, b = — 14, з = 16, >k = — 7;

D = >k2 – >ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два різних кореня;

Відповідь: 2; 8/3

У. Наведене рівняння

x2 +рх + >q= 0

збігаються з рівнянням загального виду, у якому а = 1, b = р і з = >q. Тож наведеного квадратного рівняння формула коренів

набуває вигляду:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р — парне число.

Приклад. Вирішимо рівняння x2 –14х – 15 = 0.

Рішення. Маємо: x1,2 =7±

Відповідь: x1 = 15; x2 = -1.

7. СПОСІБ: Графічне рішення квадратного рівняння.

Якщо рівнянні

x2 + >px + >q = 0

перенести другий і третій члени в праву частина, одержимо

x2 = - >px - >q.

Побудуємо графіки залежності у = x2 і в = -px -q.

 Графік першої залежності - парабола, через початок координат. Графік другий залежності -

пряма (мал.1). Можливі такі випадки:

- пряма і парабола можуть перетинатися у двох точках,абсцисси точок перетину є коріннямквад- ратного рівняння;

- пряма і парабола можуть стосуватися ( лише одне загальна точка), тобто. рівняння має одну рішення;

- пряма і парабола немає загальних точок, тобто. квадратне рівняння немає коренів.

Приклади.

1) Вирішимо графічно рівняння x2 -3х - 4 = 0 (рис. 2).

Рішення. Запишемо рівняння як x2 =3х + 4.

Побудуємо параболу у = x2 і пряму у =3х + 4. Пряму

у =3х + 4 можна побудувати з двох точкам М (0; 4) і

 N (3; 13). Пряма і парабола перетинаються у двох точках

А і У забсциссами x1 = - 1 і x2 = 4. Відповідь: x1 = - 1;

x2 = 4.

2) Вирішимо графічно рівняння (рис. 3) x2 -2х + 1 = 0.

Рішення. Запишемо рівняння як x2 =2х - 1.

 Побудуємо параболу у = x2 і пряму у =2х - 1.

Пряму у =2х - 1 побудуємо з двох точкам М (0; - 1)

і N(1/2; 0). Пряма і парабола перетинаються у точці А з

>абсциссой x = 1. Відповідь: x = 1.

3) Вирішимо графічно рівняння x2 -2х + 5 = 0 (рис. 4).

Рішення. Запишемо рівняння як x2 =5х - 5. Побудуємо параболу у = x2 і пряму у =2х - 5. Пряму у =2х - 5 побудуємо з двох точкамМ(0; - 5) іN(2,5; 0). Пряма і парабола немає точок перетину, тобто. дане рівняння коренів немає.

Відповідь.Уравнение x2 -2х + 5 = 0 коренів немає.

8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь з допомогою циркуля і лінійки.

>Графический спосіб розв'язання квадратних рівнянь з допомогою параболи незручний. Якщо будувати параболу по точкам, то потрібно чимало часу, і навіть ступінь точності отриманих результатів невелика.

 Пропоную наступний спосіб перебування коренів квадратного рівняння ох2 + bx + з = 0 з допомогою циркуля і лінійки (рис. 5).

 Припустимо, що бажана окружність перетинає вісь

абсцис в точках >В(х1; 0 ) і D (x2; 0), де x1 і x2 - коріння рівняння ох2 + bx + з = 0, і відбувається через точки

>А(0; 1) іС(0; з/a) на осі ординат. Тоді теоремі про січних маємо >OB • >OD = >OA • >OC, звідки>OC = >OB • >OD/ >OA= x1x2/ 1 = з/a.

Центр окружності перебуває у точці перетину перпендикулярів >SF і >SK, відновлених в серединаххорд >AC і >BD, тому

Отже:

1) побудуємо точки (центр окружності) і A(0; 1);

2) проведемо окружність з радіусом SA;

3)абсцисси точок перетину цієї окружності з віссю Ой є корінням вихідного квадратного рівняння.

У цьому можливі три випадку.

1) Радіус окружності більше ординати центру (>AS > >SK, чи R > a + з/2a), окружність перетинає вісь Ой у двох точках (рис.6,а) >В(х1; 0) і D(x2; 0), де x1 і x2 - коріння квадратного рівняння ох2 +bx + з = 0.

2) Радіус окружності дорівнюєординате центру (>AS = >SB, чи R = a + з/2a), окружність стосується осі Ой (рис.6,б) у точціВ(х1; 0), де x1 - корінь квадратного рівняння.

 3) Радіус окружності менше ординати центру окружність немає загальних точок з віссю абсцис (>рис.6,в), у разі рівняння немає рішення.

Приклад.

Вирішимо рівняння x2 -2х - 3 = 0 (рис. 7).

Рішення. >Определим координати точки центру окружності по формулам:

Проведемо окружність радіуса SA, де А (0; 1).

Відповідь: x1 = - 1; x2 = 3.

9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь з допомогоюномограмми.

 Це старий будинок і незаслужено забуті спосіб розв'язання квадратних рівнянь, поміщений нас.83 (див.Брадис В.М.Четирехзначние математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990).

 Таблиця XXII.Номограмма на вирішення рівняння >z2 + >pz + >q = 0. Цяномограмма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, з йогокоеффициен там визначити коріння рівняння.

>Криволинейная шкаланомограмми побудована по формулам (>рис.11):

Вважаючи ОС = р, >ED = >q,ОЕ = а (всі у див.), з подоби трикутниківСАН і >CDF одержимо пропорцію

звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння

>z2 + >pz + >q = 0,

причому літера >z означає мітку будь-який точки криволінійної шкали.

Приклади.

1) Для рівняння >z2 - 9>z + 8 = 0номограмма дає коріння

>z1 = 8,0 і >z2 = 1,0 (>рис.12).

2) Вирішимо з допомогоюномограмми рівняння

2>z2 - 9>z + 2 = 0.

>Разделим коефіцієнти цього рівняння на 2, одержимо рівняння

>z2 - 4,5>z + 1 = 0.

>Номограмма дає коріння >z1 = 4 і >z2 = 0,5.

3) Для рівняння

>z2 - 25>z + 66 = 0

коефіцієнтиp іq за межі шкали, виконаємо підстановку >z = 5>t, одержимо рівняння

>t2 - 5>t + 2,64 = 0,

 яке вирішуємо у виглядіномограмми й одержимо >t1 = 0,6 і >t2 = 4,4, звідки >z1 = 5>t1 = 3,0 і >z2= 5>t2 = 22,0.

10. СПОСІБ:Геометрический спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

 У давнину, коли геометрія була розвинена, ніж алгебра, квадратні рівняння вирішували не алгебраїчно, а геометрично. Наведу знаменитий приклад, з «>Алгебри» ав -Хорезми.

Приклади.

 1) Вирішимо рівняння x2 +10х = 39.

 У оригіналі це завдання формулюється так : «>Квадрат і... 10 коренів рівні 39» (>рис.15).

 Рішення. Розглянемо квадрат зі стороною x, з його сторони будуються прямокутники отже інший бік кожного їх дорівнює 2,5, отже, площа кожного дорівнює2,5х. Отриману постать доповнюють потім до нового квадратаABCD, добудовуючи у кутках чотири рівних квадрата , сторона кожного їх них 2,5, а площа 6,25.

Площа P.S квадрата >ABCD можна подати як суму площ: початкового квадратаx2, чотирьох прямокутників (4•2,5х =10х ) і чотири прибудованих квадратів (6,25• 4 = 25), тобто. P.S = x2+10х + 25. Замінюючи

x2 +10х числом 39, одержимо, що P.S = 39 + 25 = 64, звідки слід, що сторона квадрата >ABCD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої боку x початкового квадрата одержимо

2) І це, наприклад, як древні греки вирішували рівняння у2 +6у - 16 = 0.

Рішення представлене рис. 16, де

у2 +6у = 16, або в2 +6у + 9 = 16 + 9.

Рішення. Висловлювання у2 +6у + 9 і 16 + 9 геометрично є і той ж квадрат, а вихідне рівняння у2+6у - 16 + 9 - 9 = 0 - один і той ж рівняння. Звідки й одержуємо, що у + 3 = ± 5, чи у1 = 2, у2 = - 8(>рис.16).

3) Вирішити геометрично рівняння у2 -6у - 16 = 0.

>Преобразуя рівняння, отримуємо

у2 -6у = 16.

На рис. 17 знаходимо «зображення» висловлювання у2 -6у, тобто. з площі квадрата зі стороною у двічі віднімається площа квадрата зі стороною, рівної 3. Отже, якщо вираженню у2 -6у додати 9, одержимо площа квадрата зі стороною у - 3. Замінюючи вираз у2 -6у рівним йому числом 16,

отримуємо: (у - 3)2 = 16 + 9, тобто. у - 3 = ± 25, або в - 3 = ± 5, де у1 = 8 і у2 = - 2.