Повне та зведене

Квадратні рівняння

К в а д р а т н и м  р і в н я н н я м  називається рівняння виду

, де х – невідоме, a, b, c – деякі числа, причому 

числа a, b, c – коефіцієнти квадратного рівняння: а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член. Якщо а=1, рівняння називається 

 з в е д е н и м.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів b або с дорівнює 0, рівняння називається    н е п о в н и м

Формула коренів квадратного рівняння

Корені квадратного рівняння    

знаходять за формулою   Вираз b2 – 4ac  називається  дискримінантом і позначається буквою D.

Кількість коренів

1. Якщо D<0, рівняння не має коренів на множині дійсних чисел.     

2. Якщо D = 0,  рівняння має один корінь:

3. Якщо D>0, рівняння має два корені: 

Теорема   Вієта

Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадрат­не рівняння

 має два корені, то

      

Якщо    зведене    квадратне .  рівняння х2 + рх+q = 0 має два корені, то

                                х1+ х2=- р; xlx2 = q.       

Коли рівняння має один корінь, його мож­на вважати за два рівних: х1=х2. 

Для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади

Знайти суму й додаток коренів рівняння,
1) Зх2-5х+2 = 0;       

D = 25-3.2.4 = 1 — додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.

Отже, х1+х2=5/3;  , х1 х2=2/3.

2) х2+Зх+10=0;

D = 9 - 40 = -31 — від'ємне число.

Рівняння не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.

Теорема 2 (обернена до теореми Вієта зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел х1 і х2 дорівнюють відповідно р і q, то х1 і х2  є коренями рівняння  х2+pх+q=0.

Із  теореми  Вієта  випливає,   що  цілі розв'язки рівняння   х2+pх+q=0 є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників q коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв'язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.

Під час розв'язування треба також враховувати такі висновки з теореми Вієта

Якщо q <0, х1 і х2 мають різні знаки.

Якщо q >0, х1 і х2 обидва від'ємні чи обидва додатні. Знак  суми х1 і х2  є протилежним до знака р.